前言：
在CTF的密码题目中，RSA以其加密算法之多且应用之广泛，所以在比赛中是最常见的题目。学习密码学并不难，但首先得打好数学基础，并在攻破密码的学习之路上持之以恒。今天我们就来打开RSA加密世界的第一扇门<数论< span="">>。

数论基础：
1.素数
2.公约数与公倍数
3.欧拉函数
4.欧几里得算法
5.扩展欧几里得算法
6.同余
7.模运算
8.逆
9.中国剩余定理
10.逆元与同余式定理

1.素数：

定义：
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。
如：
3×4 = 12,不是素数。
11除了等于11×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以11是一个素数。

关于素数有以下事实：

（1）如果p是素数，且p | ab（表示ab能被p整除），则p | a或 p | b ,即p 至少整除a与b中的一个。

（2）（算术基本定理）每个整数n ≥ 2 ,均可分解成素数幂之积：

（3）素数有无穷多个。

2.最大公约数与最小公倍数

3.欧拉函数
定义：

性质：

4.欧几里得(Euclid)算法

欧几里得算法又称为辗转相除法，用于求两个数的最大公约数。
原理：GCD(x,y) = GCD(y，x mod y) ，x>y

1.python代码实现

2.python第三方库：
1gmpy2.gcd(a,b)          #求a,b的最大公约数

2Crypto.Util.number

5.扩展欧几里得算法

定义：
在已知x，y时，求解一组解a,b，使得ax+by = GCD(x，y)

算法输入：两个正整数x和y
算法输出：x和y的最大公因数gcd(x,y)及满足等式ax+by=gcd(x,y)的整数a和b

python代码实现:
gmpy2库函数gcdext()

6.同余

定义：
设a,b是整数，n≠0，如果n|(a-b)，则称a和b模n同余，记为a≡b(mod n)，整数n称为模数。

由于n|(a-b) 等价于 -n|(a-b)，所以a≡b(mod n) 与 a≡b(mod (-n))等价。因此，一般我们总假定模数n≥1。

同余的性质
性质1：
(1)自反性：a ≡ a (mod  m)
(2)对称性：a ≡ b (mod  m)，↔  b ≡ c (mod  m)  ↔ a ≡ c (mod  m)

性质2：

7.模运算

定义：
a模n的运算给出了a对模n的余数，这种运算称为模运算。注意：模运算的结果是从0到n-1的一个整数。

模运算就像普通的运算一样，它是可交换、可结合、可分配的。而且，对每一个中间结果进行模m运算后再进行模m运算，其作用与先进行全部运算，然后再进行模m运算所得到的结果是一样的。例如：

            (a+b)mod m=((a mod m)+(b mod m)) mod m
            (a-b)mod m=((a mod m)-(b mod m)) mod m
            (a×b)mod m=((a mod m) ×(b mod m)) mod m
            (a×(b+c))mod m=((a×b) mod m+(a×c) mod m) mod m

这些性质对于密码学中的数学计算非常的重要，模运算可以将所有中间结果和最后结果限制在一个范围内。对于一个k位的模数n，任何、加、减、乘的中间结果将不会超过2k位长，这样避免了巨大的中间结果，使得计算机能够有效的处理数据。

如：计算(mod n)，不要直接进行7次乘法和一个大数的模运算：
                       (a×a×a×a×a×a×a×a)mod n

相反，应该进行三次比较小的乘法和三次比较小的模化简：

这样就可以避免巨大的中间结果出现。

8.逆

定义：
若m≥1，gcd(a,m)=1,则存在c使得：
ca≡1(mod m)

9.中国剩余定理

中国剩余定理（Chinese remainder theorem，CRT），又称孙子定理，最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》中，为一次同余方程组的起源。

代码实现：

10.逆元与同余式定理

1模运算重要公式：

2威尔逊定理：(wilson’s theorem)

若p为素数，则：(p-1)!≡-1(mod p)  ⟹推导：(p-2)!≡1(mod p);
其逆定理同样成立。即：若(p-1)!≡-1(mod p),则p为素数

3二次探测定理：
定义：
若p是素数且 0<< span="">x<< span="">p,则 ≡1(mod p)仅有的两个解为：x=1或x=p-1

证明：由于≡1(mod p)，所以：-1≡0(mod p)，即(x+1)(x-1)≡0(mod p)

4费马小定理(Fermat)：

5欧拉定理(Euler)：

若a与m互质，则：

后记：

数论基础的知识点比较杂乱繁多，这篇文章写的时候尽可能的去精简了，其中的定理及公式是必须要牢记于心的，后面的RSA加密算法的讲述中我会介绍定理及公式在RSA中的应用。

学习完数论基础后，后面我们将开始学习RSA的常见攻击算法及加密原理，以及各种工具的使用和python第三方库的函数调用。

相关实验--CTF实验室
https://www.yijinglab.com/pages/CTFLaboratory.jsp